Para esta postagem, trouxe uma boa questão proposta na prova da ANPEC 2020 que trata de limite de sequências numéricas. Para iniciar, vamos ao enunciado da questão:
Solução:
A partir da definição apresentada, desenvolvendo o somatório na soma dos n + 1 inversos dos coeficientes binominais, temos
Usando o fato de que os dois primeiros (e últimos) coeficientes são 1 e n, em função do caráter simétrico dos coeficientes, escrevemos:
Observando que os extremos do somatório indicados são iguais a 1, estabelecemos uma quota mínima para o
somatório a ser determinado. No entanto, para cada
um dos inversos dos n + 1 – 4
coeficientes binomiais, vamos usar a segunda propriedade básica indicada:
Então
Enfim, para n suficientemente grande e tendendo ao infinito, temos:
Por fim, utilizando o Teorema do Confronto, uma vez que o limite procurado é, simultaneamente, maior ou igual e menor ou igual a 2, concluímos que
Gabarito: 2.
